Trapez był kluczem do znalezienia nieuchwytnej odpowiedzi na zagadkę związaną ze wstęgą Möbiusa.
Wstęgi Möbiusa to ciekawe obiekty matematyczne. Aby skonstruować jedną z takich jednostronnych powierzchni, weź pasek papieru, przekręć go raz, a następnie sklej końce razem. Wykonanie jednej z tych piękności jest tak proste, że poradzą sobie z tym nawet małe dzieci, a mimo to właściwości kształtów są na tyle złożone, że cieszą się niesłabnącym zainteresowaniem matematyków.
Może Cię zainteresować także: Matematyka używana do obliczania skuteczniejszych metod leczenia raka prostaty
Odkrycie wstęgi Möbiusa w 1858 roku przypisuje się dwóm niemieckim matematykom – Augustowi Ferdinandowi Möbiusowi i Johannowi Benedictowi Listingowi – chociaż dowody sugerują, że matematyczny gigant Carl Friedrich Gauss również był wówczas świadomy istnienia takich kształtów, jak wspomina Moira Chas, matematyk z Uniwersytetu Stony Brook. Niezależnie od tego, kto pierwszy o nich pomyślał, do niedawna badaczy nurtuło jedno pozornie łatwe pytanie dotyczące wstęgi Möbiusa: jaki jest najkrótszy pasek papieru potrzebny do jej wykonania?
W szczególności problem ten pozostał nierozwiązany w przypadku gładkich wstęg Möbiusa, które są „osadzone” zamiast „zanurzone”, co oznacza, że „nie przenikają się” ani nie przecinają, mówi Richard Evan Schwartz, matematyk z Brown University. Wyobraź sobie, że „wstęga Möbiusa była w rzeczywistości hologramem, rodzajem upiornej graficznej projekcji w trójwymiarowej przestrzeni” – mówi Schwartz. W przypadku zanurzonej wstęgi Möbiusa „kilka arkuszy tego przedmiotu mogłoby nakładać się na siebie, jak duch przechodzący przez ścianę”, ale w przypadku osadzonej wstęgi „nie ma takich zakładek”.
W 1977 roku matematycy Charles Sidney Weaver i Benjamin Rigler Halpern zadali pytanie dotyczące minimalnego rozmiaru i zauważyli, że „ich problem staje się łatwy, jeśli pozwoli się, aby tworzona wstęga Möbiusa miała samoprzecięcia” – mówi Dmitry Fuchs, matematyk z uniwersytetu Kalifornii, Davis. Pozostałą kwestią, dodaje, „było określenie, mówiąc nieformalnie, ile miejsca potrzeba, aby uniknąć samoprzecięć”. Halpern i Weaver zaproponowali minimalny rozmiar, ale nie mogli udowodnić tej tezy, zwanej hipotezą Halperna-Weavera.
Schwartz po raz pierwszy dowiedział się o tym problemie około cztery lata temu, kiedy wspomniał mu o tym Siergiej Tabacznikow, matematyk z Pennsylvania State University, a Schwartz przeczytał rozdział na ten temat w książce napisanej przez Tabachnikowa i Fuchsa. „Przeczytałem ten rozdział i byłem wciągnięty” – mówi. Teraz jego zainteresowanie się opłaciło, gdyż w końcu udało się rozwiązać problem. W artykule przeddrukowym opublikowanym 24 sierpnia 2023 roku na arXiv.org Schwartz udowodnił hipotezę Halperna-Weavera. Pokazał, że osadzone wstęgi Möbiusa wykonane z papieru można skonstruować jedynie o współczynniku kształtu większym niż √3, czyli około 1,73. Na przykład, jeśli pasek ma długość jednego centymetra, musi być szerszy niż √3 cm.
Rozwiązanie dylematu wymagało kreatywności matematycznej. Kiedy stosuje się standardowe podejście do tego typu problemów, „zawsze trudno jest rozróżnić za pomocą wzorów powierzchnie samoprzecinające się i nieprzecinające się” – mówi Fuchs. „Aby pokonać tę trudność, trzeba mieć wizję geometryczną [Schwartza]. Ale to takie rzadkie!”
W dowodzie Schwartza: „Richowi udało się rozłożyć problem na łatwe do rozwiązania części, z których każdy zasadniczo wymagał rozwiązania jedynie podstawowej geometrii” – mówi Max Wardetzky, matematyk z Uniwersytetu w Getyndze w Niemczech. „Takie podejście do dowodów ucieleśnia jedną z najczystszych form elegancji i piękna”.
Zanim jednak opracował skuteczną strategię, przez kilka lat z przerwami Schwartz próbował innych taktyk. Niedawno zdecydował się powrócić do problemu z powodu niepokojącego wrażenia, że podejście, które zastosował w artykule z 2021 roku, powinno było zadziałać.
W pewnym sensie jego przeczucie było słuszne. Kiedy wznowił badanie problemu, zauważył błąd w „lemacie” – wyniku pośrednim – dotyczącym „wzoru T” w swojej poprzedniej pracy. Poprawiając błąd, Schwartz szybko i łatwo udowodnił hipotezę Halperna-Weavera. Gdyby nie ten błąd, „rozwiązałbym tę sprawę trzy lata temu!” Mówi Schwartz.
W rozwiązaniu Schwartza hipotezy Halperna-Weavera lemat typu T jest elementem krytycznym. Lemat zaczyna się od jednej podstawowej idei: „Wstęgi Möbiusa mają na sobie te proste linie. Nazywa się je „powierzchniami liniowymi” – mówi. (Inne obiekty papierowe mają tę samą właściwość. „Kiedykolwiek masz papier w przestrzeni, nawet jeśli znajduje się on w jakiejś skomplikowanej pozycji, mimo to w każdym punkcie przechodzi przez niego linia prosta” – zauważa Schwartz.) Możesz sobie wyobrazić rysowanie tych linii prostych w taki sposób że przecięły wstęgę Möbiusa i osiągnęły granicę na obu końcach.
W swojej wcześniejszej pracy Schwartz zidentyfikował dwie linie proste, które są do siebie równoległe i znajdują się w tej samej płaszczyźnie, tworząc wzór T na każdej wstędze Möbiusa. „To wcale nie jest oczywiste, że takie rzeczy istnieją” – mówi Schwartz. Jednakże wykazanie, że tak jest, było pierwszą częścią udowodnienia lematu.
Następnym krokiem było ustawienie i rozwiązanie problemu optymalizacyjnego, który polegał na rozcięciu wstęgi Möbiusa pod kątem (a nie prostopadle do granicy) wzdłuż odcinka linii rozciągającego się na szerokość pasma i uwzględnieniu powstałego kształtu. Na tym etapie w artykule Schwartza z 2021 roku błędnie stwierdził, że ten kształt jest równoległobokiem. Właściwie to trapez.
Tego lata Schwartz postanowił wypróbować inną taktykę. Zaczął eksperymentować z zgniataniem na płasko papierowych wstęg Möbiusa. Pomyślał: „Może jeśli pokażę, że można je wcisnąć w płaszczyznę, uproszczę to do łatwiejszego problemu, w którym myślisz tylko o obiektach planarnych”.
Podczas tych eksperymentów Schwartz rozciął wstęgę Möbiusa i zdał sobie sprawę: „O mój Boże, to nie jest równoległobok. To trapez. Odkrywając swój błąd, Schwartz najpierw się zirytował („Nienawidzę popełniać błędów”, mówi), ale potem poczuł chęć wykorzystania nowych informacji do ponownego przeprowadzenia innych obliczeń. „Poprawione obliczenia dały mi liczbę, która była przypuszczeniem” – mówi. „Byłem oszołomiony… Przez następne trzy dni prawie nie spałem, po prostu to pisałem”.
Wreszcie padła odpowiedź na pytanie sprzed 50 lat. „Próba rozwiązania problemu, który przez długi czas pozostawał otwarty, wymaga odwagi” – mówi Tabacznikow. „To charakterystyczne dla podejścia Richarda Schwartza do matematyki: lubi on atakować problemy, które są stosunkowo łatwe do sformułowania i o których wiadomo, że są trudne. I zazwyczaj dostrzega nowe aspekty tych problemów, których nie zauważyli poprzedni badacze.
„Postrzegam matematykę jako wspólne dzieło ludzkości” – mówi Chas. „Chciałbym, żebyśmy mogli powiedzieć Möbiusowi, Listingowi i Gaussowi: «Zaczęliście, a teraz spójrzcie na to…» Może na jakimś matematycznym niebie oni tam są, patrzą na nas i myślą: «O rany!»”.
Jeśli chodzi o powiązane pytania, matematycy już wiedzą, że nie ma ograniczenia co do długości osadzonych wstęg Möbiusa (chociaż fizyczne ich skonstruowanie stałoby się w pewnym momencie kłopotliwe). Nikt jednak nie wie, jak krótki może być pasek papieru, jeśli ma zostać użyty do wykonania wstęgi Möbiusa zawierającej trzy skręty zamiast jednego, zauważa Schwartz. Mówiąc bardziej ogólnie, „można zapytać o optymalne rozmiary wstęgi Möbiusa, które wykonują nieparzystą liczbę skrętów” – mówi Tabachnikov. „Spodziewam się, że ktoś rozwiąże ten bardziej ogólny problem w najbliższej przyszłości”.
➔ Obserwuj nas w Google News, aby być na bieżąco!
źródło: Scientific American (Rachel Crowell)
zdjęcia wykorzystane we wpisie pochodzą z Depositphotos
Od 2005 roku zajmuję się komunikacją internetową i e-marketingiem, jestem pasjonatem urządzeń mobilnych oraz nowych technologii – i nie waham się ich używać.