Matematycy odkryli zupełnie nowy sposób znajdowania liczb pierwszych

Liczby pierwsze od wieków rozpalają wyobraźnię matematyków, którzy wciąż poszukują nowych wzorców, które pomagają je identyfikować i sposobu, w jaki są rozłożone wśród innych liczb.

Liczby pierwsze to liczby całkowite większe od 1, które są podzielne tylko przez 1 i przez siebie. Trzy najmniejsze liczby pierwsze to 2, 3 i 5. Łatwo jest stwierdzić, czy małe liczby są liczbami pierwszymi — wystarczy sprawdzić, jakie liczby można rozłożyć na czynniki. Jednak gdy matematycy rozważają duże liczby, zadanie rozróżnienia, które z nich są liczbami pierwszymi, szybko staje się trudniejsze. Chociaż sprawdzenie, czy na przykład liczby 10 lub 1000 mają więcej niż dwa czynniki, może być praktyczne, strategia ta jest niekorzystna lub nawet nie do utrzymania w przypadku sprawdzania, czy gigantyczne liczby są liczbami pierwszymi czy złożonymi. Na przykład największa znana liczba pierwsza, która wynosi 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹− 1, ma długość 41.024.320 cyfr. Na pierwszy rzut oka liczba ta może wydawać się oszałamiająco duża. Biorąc jednak pod uwagę, że istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych o różnych rozmiarach, liczba ta jest znikoma w porównaniu z jeszcze większymi liczbami pierwszymi.

Matematycy chcą jednak zrobić coś więcej niż tylko żmudne próby rozkładania liczb na czynniki pierwsze, aby ustalić, czy dana liczba całkowita jest liczbą pierwszą. „Interesują nas liczby pierwsze, ponieważ jest ich nieskończenie wiele, ale bardzo trudno jest zidentyfikować w nich jakiekolwiek wzorce” — mówi Ken Ono, matematyk z University of Virginia. Mimo to jednym z głównych celów jest ustalenie, w jaki sposób liczby pierwsze są rozłożone w większych zbiorach liczb.

➔ CZYTAJ TEŻ:

Niedawno Ono i dwóch jego współpracowników — William Craig, matematyk z U.S. Naval Academy i Jan-Willem van Ittersum, matematyk z University of Cologne w Niemczech — odkryli zupełnie nowe podejście do znajdowania liczb pierwszych. Jego praca i praca jego współpracowników, opublikowana w Proceedings of the National Academy of Sciences USA, zajęła drugie miejsce w konkursie nauk ścisłych, który docenia doskonałość naukową i oryginalność. W pewnym sensie odkrycie oferuje nieskończoną liczbę nowych definicji tego, co oznacza, że ​​liczby są liczbami pierwszymi — zauważa Ono.

Podstawą strategii zespołu jest pojęcie zwane partycjami całkowitymi. „Teoria partycji jest bardzo stara” — mówi Ono. Sięga XVIII-wiecznego szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera i z biegiem czasu była rozwijana i udoskonalana przez matematyków. „Podziały, na pierwszy rzut oka, wydają się być dziecinną zabawą” — mówi Ono. „Na ile sposobów można dodać liczby, aby uzyskać inne liczby?” Na przykład liczba 5 ma siedem partycji: 4 + 1, 3 + 2, 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 i 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Jednak koncepcja okazuje się być potężna jako ukryty klucz, który otwiera nowe sposoby wykrywania liczb pierwszych. „To niezwykłe, że tak klasyczny obiekt kombinatoryczny — funkcja partycji — może być używany do wykrywania liczb pierwszych w ten nowy sposób” — mówi Kathrin Bringmann, matematyczka z Uniwersytetu w Kolonii. (Bringmann współpracowała wcześniej z Ono i Craigiem, a obecnie jest opiekunem podoktorskim van Ittersum, ale nie była zaangażowana w te badania). Ono zauważa, że ​​pomysł na to podejście zrodził się w pytaniu zadanym przez jednego z jego byłych studentów, Roberta Schneidera, który jest obecnie matematykiem na Michigan Technological University.

Ono, Craig i van Ittersum udowodnili, że liczby pierwsze są rozwiązaniami nieskończonej liczby określonego typu równania wielomianowego w funkcjach partycjonowania. Nazwane równaniami diofantycznymi na cześć matematyka z III wieku Diofantosa z Aleksandrii (i studiowane na długo przed nim), te wyrażenia mogą mieć rozwiązania całkowite lub wymierne (co oznacza, że ​​można je zapisać jako ułamek). Innymi słowy, odkrycie pokazuje, że „podziały całkowite wykrywają liczby pierwsze na nieskończenie wiele naturalnych sposobów”, napisali badacze w swoim artykule w PNAS.

George Andrews, matematyk z Pennsylvania State University, który redagował artykuł w PNAS, ale nie był zaangażowany w badania, opisuje odkrycie jako „coś zupełnie nowego” i „czegoś, czego nie przewidywano”, co utrudnia przewidzenie „dokąd to doprowadzi”.

Odkrycie wykracza poza badanie rozkładu liczb pierwszych. „Właściwie trafiamy w sedno wszystkich liczb pierwszych” — mówi Ono. W tej metodzie można podstawić liczbę całkowitą, która jest równa 2 lub większa, do określonych równań, a jeśli są prawdziwe, to liczba całkowita jest liczbą pierwszą. Jedno z takich równań to (3n³ − 13n² + 18n − 8)M₁(n) + (12n² − 120n + 212)M₂(n) − 960M₃(n) = 0, gdzie M₁(n), M₂(n) i M₃(n) to dobrze zbadane funkcje partycjonowania. „Mówiąc ogólniej”, dla określonego typu funkcji partycjonowania, „udowadniamy, że istnieje nieskończenie wiele takich równań wykrywających liczby pierwsze ze stałymi współczynnikami” — napisali badacze w swoim artykule w PNAS. Mówiąc prościej, „to prawie tak, jakby nasza praca dawała nieskończenie wiele nowych definicji liczb pierwszych” — mówi Ono. „To jest po prostu oszałamiające”.

Odkrycia zespołu mogą doprowadzić do wielu nowych odkryć, zauważa Bringmann. „Poza swoim wewnętrznym zainteresowaniem matematycznym, ta praca może zainspirować do dalszych badań nad zaskakującymi algebraicznymi lub analitycznymi właściwościami ukrytymi w funkcjach kombinatorycznych”, mówi. W kombinatoryce — matematyce liczenia — funkcje kombinatoryczne są używane do opisywania liczby sposobów, w jakie elementy w zestawach mogą być wybierane lub układane. „Mówiąc szerzej, pokazuje bogactwo połączeń w matematyce”, dodaje. „Tego rodzaju wyniki często stymulują świeże myślenie w różnych poddziedzinach”.

Bringmann sugeruje kilka potencjalnych sposobów, w jakie matematycy mogliby rozwijać badania. Na przykład mogliby zbadać, jakie inne typy struktur matematycznych można znaleźć za pomocą funkcji partycjonowania lub poszukać sposobów, w jakie wynik główny można rozszerzyć, aby badać różne typy liczb. „Czy istnieją uogólnienia wyniku głównego na inne ciągi, takie jak liczby złożone lub wartości funkcji arytmetycznych?” — pyta.

„Ken Ono jest moim zdaniem jednym z najbardziej fascynujących matematyków” — mówi Andrews. „To nie pierwszy raz, kiedy poruszył klasyczny problem i rzucił światło na naprawdę nowe rzeczy”.

Nadal istnieje mnóstwo otwartych pytań na temat liczb pierwszych, z których wiele jest nierozwiązanych od dawna. Dwa przykłady to hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych i hipoteza Goldbacha. Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych głosi, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych bliźniaczych — liczb pierwszych, które są rozdzielone wartością dwóch. Liczby 5 i 7 są liczbami pierwszymi bliźniaczymi, podobnie jak 11 i 13. Hipoteza Goldbacha głosi, że „każda liczba parzysta większa niż 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych przynajmniej w jeden sposób” — mówi Ono. Ale nikt nie udowodnił, że ta hipoteza jest prawdziwa.

„Problemy takie wprawiają matematyków i teoretyków liczb w zakłopotanie od pokoleń, niemal przez całą historię teorii liczb” — mówi Ono. Twierdzi on, że chociaż ostatnie odkrycie jego zespołu nie rozwiązuje tych problemów, stanowi ono głęboki przykład tego, w jaki sposób matematycy przesuwają granice, aby lepiej zrozumieć tajemniczą naturę liczb pierwszych.

źródło: LiveScience
zdjęcie wykorzystane we wpisie pochodzą z Depositphotos